这一章描述了判交和MTD算法，包括SAT等。
SAT算法
分离轴定律（Separate Axis Theory）是常见的判断两个凸多面体是否相交，同时可以求出最小挤出向量（MTD, Minimal Translation Direction）的算法。和GJK作为两大求解MTD算法。
分离轴定律基于一个事实：用一束平行光照射两个凸体，如果存在一个光的朝向，使他们在墙上（墙垂直于光）的投影不相交，那么这两个物体就不相交。
那么这个墙就叫做测试轴或者投影轴。本质上是在选定墙之后，将两个凸体投影到墙体上看投影是否相交。
在程序实现中不可能找“任意的”墙。对于凸体，需要：
- 将每个面的法线当做墙进行投影
- 将两个凸体中的每两对边的叉乘结果作为墙进行投影
如果存在任意投影不相交，那么这两个物体就不相交。
否则相交，并且投影之间的重叠距离就是最小挤出距离。投影轴的方向就是挤出方向。
对于两个OBB来说，一共需要对这些轴进行测试：
- 第一个OBB的三个轴
- 第二个OBB的三个轴
- 每两对边（3x3 = 9）个轴（去掉朝向一样/相反的轴）
所以一共是15次测试。
这里有个问题：为什么要对边的叉乘结果也进行测试？参考3说的很清楚。简单来说就是存在某些情况，面法线全部判定为相交，但其实两个物体不相交的情况。
Support点
支撑点是指：给定某一个方向，找到这个方向上几何体中最远的点。
在概念上，经常用支撑点来描述SAT算法：给出一个投影轴，在这个轴的正方向和负方向上找到物体的支撑点。然后算两个物体各自支撑点所包含的区域是否相交。
但实际情况下不会真的调用两次计算支撑点的算法。因为Convex的支撑点算法是遍历所有顶点，将点投影在轴上，找到投影距离最大的那个点作为支撑点。
如果你要算正向和反向的支撑点，中间会有很多重复的投影。
SAT的应用场合
虽然SAT的概念很好理解，实现起来也很简单。但遗憾的是，在3D中几乎不会使用SAT。
SAT最耗时的地方是往不同的轴上投影。轴越多投影越多。在2D场景下，边的法线十分容易计算，而且也只需要边法线作为轴，不需要两个物体的一对边的叉乘作为轴。这个时候SAT的速度还是很快的。像Box2D中所有的几何几乎都采用SAT算法。
但在3D中情况有变：
- 计算凸体需要面法线，那你必须将面法线提前记录下来，因为得知道哪些顶点构成面。或者你使用凸体的拓扑形式，这样可以知道所有面然后根据边算面法线。但就算这样，要计算的面法线也越来越多
- 随着凸体边数增多，要计算两边叉乘产生的轴也越来越多（理论上是$V_{num1} * V_{num2}$是一个平方数量级），这导致投影操作大大增加
所以基本上除了OBB和OBB的判交可以用SAT（此时SAT和GJK+EPA的差别不大，但是更好写），所有的凸体算法中SAT都要比GJK+EPA慢。很多物理引擎中（比如PhysX，Bullet）都是AABB之间和OBB之间的MTD算法使用SAT。其他都使用GJK+EPA
OBB和OBB的SAT特化算法
由于OBB“方方正正”的特性（邻边互相垂直，对边互相平行），可以不对OBB的每个顶点进行投影。而是对轴进行投影。通过将每个轴投影，找到正向/反向最远的值作为支撑点在此轴上的坐标即可。这样大大简化了需要投影的点的个数（投影轴是15个，投影点本来是(8 + 8) * 15。现在是(3 + 3) * 15）。
凸体和球体的SAT
球体没有边。所以投影轴有两种：
- 凸体的面法线
- 球体到凸体顶点的连线
但不会有人在球和凸体上用SAT的。还是投影轴太多。
工程中使用的凸体和球体的判交/MTD算法
对于判交，工程中一把直接化成最近点算法：找到球体和凸体的最近点，然后看最近点是否在球体内。
$$ \begin{aligned} & \vec{d} = \vec{C_{circle}} - \vec{NearestPt} \\ & \vec{MTD} = (||\vec{d}|| - r)\frac{\vec{d}}{||\vec{d}||} \end{aligned} $$如果在内部。那就得使用点到面距离来判断离四个面谁最近。这个时候挤出方向就是面法线，大小就是球心到面的距离+半径。
注意：只需要判断球心到面的距离，不需要判断球心到边的距离。因为总可以对面作垂线构造直角三角形，来证明到面的距离总是短于到边的距离:
判断球体到四面体也是一样的方法。但这个时候就要判断到边的距离了（因为四面体不那么“方正”）
其他MTD求解方法
全部使用GJK。等到GJK的章节再说。