本文是Games101 RayTracing课程中辐射度量学一章的笔记。
辐射度量学
辐射度量学是一套基于物理的光线理论，虽然只是几个公式，但学习他可以很好地帮助我们理解BRDF，PBR，AO等算法的概念。
基本概念
- Radiant flux： 辐射通量
- intensity：光强度（一般记作$I$）
- irradiance：辐照度
- radiance：辐射度
Radiant Energy和Radiand Flux
Radiant Energy（辐射强度）是电磁辐射在单位面积上的能量，用$Q$表示，单位是焦耳（$J$）
Radiant Flux（辐射通量）的定义是：
$$ \Phi = \frac{dQ}{dt} $$
即单位时间内的Radiant Energy。单位是瓦特（$W$），或者流明（$lm$）。
这个公式可以这样理解，将其变换：
$$ \text{d}Q = \Phi\text{d}t $$
在辐射通量一定的情况下，光发出的能量和时间成正比，这显然符合现实的情况。
Radian Intensity
即辐射强度，指一个光源向周围发射的光强度。定义为：
$$ I(\omega) = \frac{d\Phi}{d\omega} $$
其中$\omega$是Solid Angle（立体角）的单位。
Radian Intensity的单位是坎德拉（$cd$）
Solid Angle
是三维空间中对角度的定义。
在二维空间中，我们知道圆的弧长公式是：
$$ l = r\theta $$
那么可以得到角度的定义：
$$ \theta = \frac{l}{r} $$
在三维的球中，也可以如法炮制：
$$ r^2 \omega = S \Rightarrow \omega = \frac{S}{r^2} $$
其中$S$是球对应立体角的面积，$r$则是球的半径。
立体角的单位是steradian（球面度，简记$sterad$）
显然，$\omega \in [0, 4\pi]$。
单位立体角则是在单位球中，对应面积$S$的立体角。
微分立体角则是立体角的微分，可以从球坐标系中算出来：
首先算出单位立体角对应的面的面积：
$$ dS = (r\text{d}\theta)(r\sin{\theta}\text{d}\phi) = r^2\sin{\theta}\text{d}\theta \text{d} \phi $$
那么有
$$ \frac{\text{d}S}{r^2} = \sin{\theta}\text{d}\theta\text{d}\phi = \text{d}\omega $$
你可以反过来验证：
$$ \int_S \sin{\theta}\text{d}\theta\text{d}\phi = \int^{2\pi}_0 \int^{\pi}_0\sin{\theta}\text{d}\theta\text{d}\phi = 4\pi $$
这样通过公式
$$ I = \frac{\text{d}\Phi}{\text{d}\omega} $$
可以得到
$$ \text{d}\Phi = I\text{d}\omega \Rightarrow \Phi = \int_{S^2} I\text{d}\omega $$
其中$S^2$是指整个光源所在的球面的面积。
Irradiance
即辐照度，是指单位面积上的辐射通量：
$$ E(x) = \frac{\text{d}\Phi(x)}{\text{d}S} $$
单位是$lux$
注意Irradiance和Radiant Intensity的区别。Radiant Intensity是度量光源发出光强度的量，而Irradiance是某点接收光辐射的量。
Radiance
即辐射度（或辐射），是描述光在环境中分布的基本量。Radiance和光的方向有关。
Radiance的定义如下：
$$ L(p,\omega) = \frac{\partial^2{\Phi(p, \omega)}}{\partial{\omega}\partial{S\cos{\theta}}} $$
单位是尼特（$nit$）。
这里$p$是辐射到的点，$\omega$是立体角，$S$是辐射到这一点的面积，$\cos\theta$是这一点所在面的法向量和光线的夹角。
这里的Radiance是总体的定义，我们也可以对入射和出射光定义，分别是光源发出的Radiance（Exiting Radiance）和接收的Radiance（Incident Radiance）。
Exiting Radiance使用Radiant Intensity定义，根据前面对Radiant Intensity的定义，可以将公式变化为：
$$ L(p,\omega) = \frac{\partial{I(p, \omega)}}{\partial{\omega}\partial{S\cos{\theta}}} $$
Incident Radiance使用Irradiance定义，根据Irradiance的定义，可以将公式化简为：
$$ L(p,\omega) = \frac{\text{d}{E(p, \omega)}}{\text{d}{\omega}\cos{\theta}} $$
Iradiance 和 Radiance的联系
通过对Radiance的定义可以得到：
$$ L(p, \omega) = \frac{\text{d}E(p)}{\text{d}\omega \cos{\theta}} \Rightarrow \text{d}E(p) = L(p, \omega)\text{d}\omega \cos{\theta} $$
即
$$ E(p) = \int L(p, \omega) \cos{\theta} \text{d}\omega $$
显然，irradiance只是在radiance上增加了方向，而这个公式则说明了，某一点所受的irradiance的总量为其半球面上垂直于该面的radiance总和:
之所以是半球面，是因为从面的底部照射的光不应该产生任何光照效果。