这两天在看OpenGL光照的时候，教程上提到了法向量变换。这里就来推导一下。

法向量变换

为什么要法向量变换

很简单，因为如果你直接对法向量采用模型矩阵model或者其他比那还的话，会改变法向量的方向。你可以将法向量$(x,y)$看作一个位置向量，然后对其做$M$变换。可以知道，这个点的坐标必定变化。那么其方向向量就会变化，这样法向量也就变化了（除非它是沿着其方向向量移动）。

法向量变换矩阵的推导

推导很简单。首先给出空间中齐次坐标的平面方程：

$$n_{x}X+n_{y}Y+n_{z}Z+n_{w}W=0$$ 写成矩阵就是：

$$\left[\begin{array}{cccc}{n}_x& n_y& n_z& n_w\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}XYZW\end{array}\right]=0$$

然后我们在中间乘上变换矩阵$M$和其逆$M^{-1}$来方便我们寻找法向量变换方程:

$$\left[\begin{array}{cccc}{n}_x& n_y& n_z& n_w\end{array}\right]M^{-1}M\left[\begin{array}{c}XYZW\end{array}\right]=0$$

这个时候，$M\left[\begin{array}{c}XYZW\end{array}\right]$就是经过变化之后的顶点了，那么显然$\left[\begin{array}{cccc}{n}_x& n_y& n_z& n_w\end{array}\right]M^{-1}$就是变换后的法向量了，也就是说存在：

$$ $$\left[\begin{array}{cccc}{n}_x& n_y& n_z& n_w\end{array}\right]$$ M^{-1}

$$\left[\begin{array}{c}{n}_{x_{eye}}{n}_{y_{eye}}{n}_{z_{eye}}{n}_{w_{eye}}\end{array}\right]$$ $$

那么对左边式子转置一下，得到:

$$ (M^{-1})^T $$\left[\begin{array}{c}{n}_x{n}_y{n}_z{n}_w\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{n}_{x_{eye}}{n}_{y_{eye}}{n}_{z_{eye}}{n}_{w_{eye}}\end{array}\right]$$ $$

所以我们就可以知道，通过$(M^{-1}{)}^T$变换之后，可以将原本的法向量变换到观察空间中了。所以法向量变换矩阵就是$(M^{-1}{)}^T$其中$M$是将点变换的新空间的矩阵（如果你只将点变换到全局空间中就是model，变换到观察空间中就是model*view）