这两天在看OpenGL光照的时候，教程上提到了法向量变换。这里就来推导一下。

法向量变换

为什么要法向量变换

很简单，因为如果你直接对法向量采用模型矩阵model或者其他比那还的话，会改变法向量的方向。你可以将法向量$(x,y)$看作一个位置向量，然后对其做$M$变换。可以知道，这个点的坐标必定变化。那么其方向向量就会变化，这样法向量也就变化了（除非它是沿着其方向向量移动）。

推导很简单。首先给出空间中齐次坐标的平面方程：

$$ n_xX+n_yY+n_zZ+n_wW = 0 $$ 写成矩阵就是：

$$ \begin{bmatrix} n_x & n_y & n_z & n_w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \ Y \ Z \ W \end{bmatrix} =0 $$

然后我们在中间乘上变换矩阵$M$和其逆$M^{-1}$来方便我们寻找法向量变换方程:

$$ \begin{bmatrix} n_x & n_y & n_z & n_w \end{bmatrix} M^{-1} M \begin{bmatrix} X \ Y \ Z \ W \end{bmatrix} =0 $$

这个时候，$M\begin{bmatrix} X \ Y \ Z \ W \end{bmatrix}$就是经过变化之后的顶点了，那么显然$\begin{bmatrix} n_x & n_y & n_z & n_w \end{bmatrix}M^{-1}$就是变换后的法向量了，也就是说存在：

\begin{bmatrix} n_{x_{eye}} \ n_{y_{eye}} \ n_{z_{eye}} \ n_{w_{eye}} \end{bmatrix} $$

那么对左边式子转置一下，得到:

\begin{bmatrix} n_{x_{eye}} \ n_{y_{eye}} \ n_{z_{eye}} \ n_{w_{eye}} \end{bmatrix} $$

所以我们就可以知道，通过$(M^{-1})^T$变换之后，可以将原本的法向量变换到观察空间中了。所以法向量变换矩阵就是$(M^{-1})^T$其中$M$是将点变换的新空间的矩阵（如果你只将点变换到全局空间中就是model，变换到观察空间中就是model*view）